Позиционный принцип минимума: вариационное усиление понятий экстремальности в оптимальном управлении

Известные принципы максимума типа Понтрягина и соответствующие им условия экстремальности (Кларка, Кашкоч – Лоясиевича, Суссмана и др.) усиливаются до необходимых условий глобальной оптимальности в форме позиционного принципа минимума для классических и негладких задач оптимального управления без терминальных ограничений. Формулировки позиционного принципа минимума (или соответствующего ему условия экстремальности) не выходят за рамки конструкций принципов максимума (функция Понтрягина или гамильтониан, сопряженная система или включение, их решения, т. е. котраектории), но собственно условие максимума функции Понтрягина или гамильтониана усиливается до вариационного: оптимальная траектория рассматриваемой задачи необходимо является минималью в некоторой присоединенной задаче динамической оптимизации. Эта задача ставится на множестве всех пучков конструктивных движений Красовского – Субботина, порожденных экстремальными стратегиями относительно суперрешения уравнения Гамильтона – Якоби, определенного явно через котраекторию исследуемого процесса и целевую функцию, задающую терминальный функционал. В более общем варианте позиционный принцип минимума использует обобщенные решения проксимального неравенства Гамильтона – Якоби для слабо убывающих ($u$-стабильных) функций.