Функции типа Ляпунова для нелинейных импульсных управляемых систем

В статье рассматриваются нелинейные импульсные управляемые системы с траекториями ограниченной вариации и управлениями типа векторной меры. Для таких систем предложена новая форма описания решений через полунепрерывные сверху многозначные отображения и установлена связь между новым и известными понятиями решения. Доказано, что множество решений импульсной управляемой системы, выходящих из заданной начальной точки, является замыканием множества абсолютно непрерывных решений в смысле сходимости графиков дополненных траекторий в метрике Хаусдорфа. Основное внимание в статье сфокусировано на исследовании свойств сильной и слабой монотонности функций типа Ляпунова относительно импульсной управляемой системы. Предложены определения сильной и слабой монотонности и $V$-монотонности функций типа Ляпунова. В этих определениях ключевую роль играет переменная $V,$ которая характеризует, с одной стороны, так называемое быстрое время, в котором осуществляются скачки траекторий, а с другой — ресурс импульсного управления. Показано, что такая двойная интерпретация переменной $V$ приводит к появлению двух разных систем понятий монотонности, названных свойствами монотонности и $V$-монотонности. В работе обсуждается связь соответствующих свойств монотонности и приводятся инфинитезимальные критерии в форме систем дифференциальных неравенств Гамильтона–Якоби.