Topologies and ranks for families of theories in various languages

Топологические свойства и характеристики семейств теорий отражают возможности отделимости теорий и сложность как самих теорий, так и их окрестностей. Ранее топологии изучались для семейств полных теорий в общем случае и для ряда естественных классов, а также для различных семейств неполных теорий фиксированной сигнатуры. Были определены и описаны ранги для полных теорий данной сигнатуры, иерархии теорий, семейств неполных теорий, формул и ряда естественных семейств теорий, включая семейства упорядоченных теорий, семейства теорий подстановок и семейства теорий абелевых групп.
В этой статье мы изучаем свойства и характеристики топологий и рангов семейств теорий, имеющих различные сигнатуры. Рассмотрение основано на специальных отношениях, связывающих формулы данной сигнатуры. Эти соотношения используются для определения и описания видов отделимости относительно $T_0$-топологий, $T_1$-топологий и хаусдорфовых топологий. Кроме того, специальные отношения используются для определения и изучения рангов для семейств теорий различных сигнатур. Описаны возможные значения ранга, и эти возможности охарактеризованы в топологических терминах.