Analytical diffusion wave-type solutions to a nonlinear parabolic system with cylindrical and spherical symmetry

В статье рассматривается система нелинейных параболических уравнений второго порядка, описывающая тепломассоперенос в бинарной жидкой смеси. Специфика нелинейности такова, что система имеет тривиальное решение, на котором ее параболический тип вырождается. Данное обстоятельство позволяет рассматривать класс решений типа диффузионных волн, распространяющихся по нулевому фону с конечной скоростью. В работе основное внимание уделено двум пространственно-симметричным случаям, когда одна из двух независимых переменных есть время, а вторая — расстояние до некоторой точки или прямой. Доказана теорема существования и единственности решения типа диффузионной волны с аналитическими составляющими. Решение строится в виде степенного ряда с рекуррентно определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов доказывается методом мажорант. В одном частном случае проведена редукция рассматриваемой задачи к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, наследующей все специфические особенности исходной. Выписана форма точных решений при экспоненциальном и степенном фронтах. Таким образом, удалось распространить результаты, ранее полученные для нелинейной параболической системы «реакция-диффузия» в плоскосимметричном виде, на более общие случаи цилиндрической и сферической симметрии. Параболические уравнения и системы часто лежат в основе моделей популяционной динамики. Такое моделирование позволяет выявлять свойства популяций и прогнозировать изменение численности. Полученные результаты, в частности, могут быть интересны с точки зрения математического моделирования популяционной динамики байкальских микроорганизмов.