Решение линейно-квадратичной задачи оптимального управления на основе конечномерных моделей

Рассматривается линейно-квадратичная задача оптимального управления со знаконеопределенными матрицами и двусторонним ограничением на управление. В задаче также присутствует параметр регуляризации при квадрате управления в функционале. Приближенное решение задачи проводится на подмножествах допустимых управлений, которые оформляются с помощью линейных комбинаций специальных функций с ориентацией на структуру оптимального управления в силу принципа максимума. В результате такой процедуры получена конечномерная задача квадратичной оптимизации с двусторонним ограничением на переменные. Установлены следующие соотношения между вариационной задачей и ее конечномерной моделью: свойство выпуклости линейно-квадратичной задачи сохраняется для конечномерной модели; невыпуклая линейно-квадратичная задача при определенном условии на параметр регуляризации (оценка снизу) аппроксимируется выпуклой квадратичной задачей, которая решается за конечной число операций; специальная невыпуклая линейно-квадратичная задача с оценкой сверху на параметр регуляризации переходит в задачу минимизации вогнутой функции на конечном множестве точек. Выделяется частный случай невыпуклой линейно-квадратичной задачи на максимум нормы конечного состояния. Обсуждены возможности решения конечномерной модели на основе степенного метода с нормировкой. Построены две процедуры улучшения экстремальных точек конечномерной модели, которые снижают вычислительные затраты на глобальное решение задачи в рамках метода линеаризации.