О разрешимости в классе распределений вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

В статье представлен новый подход к построению обобщенных решений вырожденных интегро-дифференциальных уравнений сверточного типа в банаховых пространствах. Главная идея предлагаемой методики состоит в отказе от условия существования полного жорданова набора для фредгольмова оператора при старшей производной относительно операторного пучка, образованного остальными операторными коэффициентами дифференциальной части и операторным ядром интегральной составляющей уравнения. Условия накладываются на значения специально построенной оператор-функции на базисных элементах ядра фредгольмова оператора. При таком подходе дифференциальная часть уравнения кроме старшей производной может включать любую комбинацию младших производных, что позволяет с единых позиций рассматривать сверточные интегро-дифференциальные уравнения без специального учета структуры его операторного пучка. Предложенный метод является обобщением способа, основанного на использовании жордановых наборов фредгольмовых операторов, а в случае существования последних совпадает с ним. Обобщенные решения строятся в виде свертки фундаментальной оператор-функции, соответствующей исследуемому уравнению, и функции, включающей в себя правую часть уравнения и начальные данные. Условия, при которых такое обобщенное решение не содержит сингулярной составляющей, а регулярная составляющая обращает исходное уравнение в тождество и удовлетворяет начальным данным и будут обеспечивать разрешимость исходной задачи в классе функций соответствующей гладкости. При этом построенное обобщенное решение окажется классическим. Доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции, абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач прикладного характера из теории электромагнитных полей, теории колебаний в вязко-упругих средах, теории колебаний термоупругих пластин.