Приближенные и точные решения вырождающегося нелинейного уравнения теплопроводности с произвольной нелинейностью

В статье рассмотрена задача о движении тепловой волны с заданным фронтом для нелинейного параболического уравнения теплопроводности общего вида. Искомая функция зависит от двух переменных. На фронте тепловой волны коэффициент теплопроводности и функция источника обращаются в нуль, что приводит к вырождению параболического типа уравнения. Это является математической причиной появления исследуемых решений, которые описывают возмущения, распространяющиеся по нулевому фону с конечной скоростью. Подобного рода эффекты, вообще говоря, несвойственны для уравнений параболического типа. Ранее авторами для рассмотренной в настоящей работе задачи была доказана теорема существования и единственности, однако она носит локальный характер и не позволяет исследовать свойства решения за пределами малой окрестности фронта тепловой волны. Для преодоления данной проблемы в статье предложен итерационный метод построения приближенного решения на заданном временном интервале, основанный на граничноэлементном подходе. Поскольку для нелинейных уравнений математической физики с особенностью обычно не удается доказать строгие теоремы о сходимости приближенных методов, важной проблемой является верификация результатов расчетов. Одним из традиционных способов здесь является сравнение с точными решениями. В статье получено и исследовано точное решение искомого типа, нахождение которого сводится к интегрированию задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, получены некоторые его качественные свойства, включая интервальную оценку амплитуды волны в одном частном случае. Проведенные расчеты показали эффективность разработанного вычислительного алгоритма, а также соответствие результатов вычислений и качественного анализа.