Endomorphisms of some groupoids of order $k+k^2$

Автоморфизмы и эндоморфизмы активно используются в различных теоретических исследованиях. В частности, теоретический интерес к изучению автоморфизмов обусловлен возможностью представления элементов фиксированной группы автоморфизмами некоторой подходящей алгебраической системы. Например, в 1946 году Г. Биркгоф показал, что каждая группа является группой всех автоморфизмов некоторой алгебры. В 1958 году Д. Гроот опубликовал работу, в которой было установлено, что всякая группа есть группа всех автоморфизмов некоторого кольца. М. М. Глуховым и Г. В. Тимофеенко было установлено: всякая конечная группа изоморфна группе автоморфизмов подходящей конечно-определенной квазигруппы.
Исследуются эндоморфизмы некоторых конечных группоидов с порождающим множеством из $k$ элементов и порядком $k+k^2$, не являющихся квазигруппами и полугруппами при $k>1$. Приводится описание всех эндоморфизмов этих группоидов как отображений носителя и устанавливаются некоторые структурные свойства моноида всех эндоморфизмов. Ранее было установлено, что всякая конечная группа изоморфно вкладывается в группу всех автоморфизмов некоторого подходящего группоида порядка $k+k^2$ и порождающим множеством из $k$ элементов.
Показано, что для любого конечного моноида $G$ и любого натурального числа $k\ge |G|$ будет существовать группоид $S$ с порождающим множеством из $k$ элементов и порядком $k+k^2$ такой, что $G$ изоморфен некоторому подмоноиду моноида всех эндоморфизмов группоида $S$.