A note on commutative nil-clean corners in unital rings

Мы доказали, что если $R$ — кольцо с семейством ортогональных идемпотентов $ \{e_i \} _ {i = 1} ^ n $, имеющее сумму $ 1 $, такую, что каждое угловое подкольцо $ e_iRe_i $ коммутативно ниль-чисто, тогда $R$ также ниль-чисто, показывая, что это утверждение фактически эквивалентно утверждению, установленному Breaz S., Cǎlugǎreanu G., Danchev P., Micu T. в “Lin. Algebra & Appl.” (2013), что если $ R $ — коммутативное ниль-чистое кольцо, то полное матричное кольцо $ \mathbb{M} _n (R) $ также ниль — чисто для любого размера $ n $. Настоящее доказательство в некоторой степени уточняет наш недавний результат, опубликованный в журнале "Bull. Iran. Math. Soc." (2018), касающийся сильно ниль-чистых угловых колец, а также дает новую стратегию для дальнейшего развития исследуемой темы.