Maximizing the sum of radii of balls inscribed in a polyhedral set

Задача упаковки шаров имеет множество приложений в различных областях науки и техники. Мы рассматриваем задачу максимизации суммы радиусов непересекающихся шаров, вписанных в многогранное множество в гильбертовом пространстве. Такая задача часто формулируется как задача упаковки. Рассматривая задачу в гильбертовом пространстве, мы формулируем ее как задачу оптимального управления с терминальным функционалом и терминальными ограничениями на конечный момент времени. Эта задача принадлежит к классу невыпуклых задач оптимального управления, поэтому применение градиентного метода не всегда гарантирует нахождения глобального решения для данной задачи. В работе показано, что задача для трех кругов в конечномерном пространстве является хорошо известной задачей Мальфатти [16]. Дополнительно доказано, что максимизация суммы радиусов кругов, вписанных в треугольник, эквивалентна задаче Мальфатти. Обобщенная задача Мальфатти рассматривалась как задача выпуклой максимизации в работах [6;7] с применением условия глобальной оптимальности А. С. Стрекаловского [17].