The index and split forms of linear differential-algebraic equations

Рассматриваются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) c прямоугольными матрицами коэффициентов, включая случай, когда матрица перед производной искомой вектор-функции имеет неполный ранг для всех значений аргумента из области определения. Системы такого вида, принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Получены критерии существования неособенных преобразований, расщепляющих систему на подсистемы, для которых с помощью аппарата обобщенных обратных матриц можно выписать общие решения в виде конечных формул. Эта форма названа обобщенной расщепленной формой ДАУ. Она является некоторым аналогом канонической формы Вейерштрасса–Кронекера и совпадает с ней для пучков матриц с постоянными элементами. В частности, показано, что произвольные ДАУ с прямоугольными матрицами коэффициентов приводимы локально к обобщенной расщепленной форме. Структура этих форм (если она определена на отрезке интегрирования) полностью определяет структуру общих решений систем. При анализе обозначенного выше класса систем ОДУ выявлено наличие целочисленных характеристик систем, называемые размерность пространства решений и индекс. Размерность пространства решений определяет произвол многообразия общего решения. Индекс определяет порядок производных входных данных, от которых зависит решение задачи. Указаны способы вычисления этих характеристик.