О геометрической медиане выпуклых, а также треугольных и других многоугольных областей

Задача Ферма–Торричелли заключается в нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех заданных точек минимальна. Она допускает многочисленные обобщения. Если на плоскости задано конечное множество $S$, состоящее из $n$ точек, то точно так же можно искать точку, минимизирующую в данном случае сумму $n$ расстояний, называемую медианой множества $S$. Аналогичная конструкция работает в евклидовом пространстве любой размерности и вообще в любом метрическом пространстве. Обобщенная задача Ферма–Торричелли — это задача о минимизации суммы взвешенных расстояний, она является одной из основных, во всяком случае, архетипичных в теории размещений. Уже для трех точек аналитическое решение задачи Ферма–Торричелли и, тем более, обобщенной задачи представляется достаточно сложным.
В настоящей работе рассматривается еще более сложный — непрерывный случай, а именно задача о нахождении геометрической медианы двумерной области, — задача, в которой суммы расстояний заменяются на двойные интегралы.
Нетрудно понять, что геометрическая медиана выпуклой области $\Omega$ лежит внутри этой области. Мы добьемся усиления этого результата — будет получена универсальная геометрическая оценка удаленности медианы от границы области $\Omega$, зависящая только от ее площади $S(\Omega)$ и диаметра $d(\Omega)$. Еще одним объектом изучения в данной работе являются плоские многоугольные области. Даже в случае треугольной области при отыскании геометрической медианы, по-видимому, нельзя надеяться на аналитическое решение, заданное в конечном виде. Во всяком случае в известной онлайн энциклопедии Encyclopedia of Triangle Centers среди содержащихся там нескольких тысяч формул для различных центров треугольника формула для геометрической медианы треугольной области отсутствует. Тем не менее, с помощью элементарных функций удается записать градиентную систему для нахождения геометрической медианы такой области. С помощью триангуляции этот результат переносится на произвольную многоугольную область. Отдельно обсуждаются свойства геометрической медианы равнобедренного треугольника.