On periodic solutions of a nonlinear reaction-diffusion system

Рассматривается система трех параболических уравнений в частных производных специального вида, относящаяся к типу уравнений реакции-диффузии. В этой системе слагаемые, описывающие диффузию, являются одинаковыми и линейными с постоянными коэффициентами, а реакции описываются однородными полиномами третьей степени, зависящими от трех параметров. Искомые функции считаются зависящими от времени и произвольного количества пространственных переменных (многомерный случай). Показано, что рассматриваемая система реакции-диффузии имеет целое семейство точных решений, выражаемых через произведение решения уравнения Гельмгольца и решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными полиномами в правых частях, взятыми из исходной системы. Приведены два первых интеграла и построено общее решение упомянутой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, представимое эллиптическими функциями Якоби. Установлено, что все частные решения, получаемые из общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, являются периодическими функциями времени с периодами, зависящими от выбора начальных условий. Кроме того, показано также наличие у данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений “взрывающихся” по времени решений, существующих лишь на конечном интервале времени. Соответствующие им значения первых интегралов и начальные данные выделяются условиями типа равенства. Отдельно рассмотрен класс радиально симметричных по пространственным переменным решений. В этом случае уравнение Гельмгольца вырождается в неавтономное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого выражается через комбинацию степенных функций и функций Бесселя. В частном случае трех пространственных переменных общее решение выражается через тригонометрические либо гиперболические функции.