Об устойчивости решений дифференциальных уравнений нейтрального типа с распределенным запаздыванием

Рассматривается один класс систем линейных неавтономных дифференциальных уравнений нейтрального типа с распределенным запаздыванием. Матрица перед производной неизвестной вектор-функции с запаздыванием постоянна, матрица перед неизвестной вектор-функцией имеет непрерывные T-периодические элементы, ядро интегрального оператора состоит из непрерывных функций, T-периодических по аргументу t. Цель работы заключается в исследовании асимптотической устойчивости нулевого решения с использованием метода модифицированных функционалов Ляпунова – Красовского. Метод функционалов Ляпунова – Красовского является развитием второго метода Ляпунова. Достоинством этого метода является простота формулировок и сведение исследования асимптотической устойчивости к решению хорошо обусловленных задач. Кроме того, метод модифицированных функционалов Ляпунова – Красовского позволяет получить оценки на решения линейных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Заметим, что использование модифицированных функционалов Ляпунова – Красовского также позволяет получить оценки решений нелинейных дифференциальных уравнений и оценки на множество притяжения. Ранее система периодических дифференциальных уравнений нейтрального типа рассматривалась в работах Г. В. Демиденко и И. И. Матвеевой, в которых были получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения и указаны оценки решений этой системы. Система линейных периодических дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием рассматривалось автором статьи. Для этой системы также были получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения и указаны оценки решений. В настоящей работе получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы нейтрального типа с распределенным запаздыванием в терминах матричных неравенств и установлены оценки решений системы, характеризующие экспоненциальное убывание на бесконечности.