Об устойчивости сплайн-коллокационной разностной схемы для полулинейной дифференциально-алгебраической системы индекса (1,0)

Рассматривается полулинейная дифференциально-алгебраическая система уравнений в частных производных индекса (1,0) с прямоугольной областью определения и согласованными начально-краевыми условиями. Предполагается, что пучок матриц, построенный по коэффициентам дифференциально-алгебраической системы, гладко подобен специальной канонической форме. Для численного решения системы строится равномерная сетка в прямоугольной области определения. На сетке выделяется прямоугольная элементарная подобласть с фиксированным количеством узлов по каждому направлению. В каждой такой подобласти решение системы ищется в виде полинома Ньютона. Значения полинома на линиях стыка элементарных подобластей должны совпадать. Дифференциально-алгебраическая система записывается во внутренних узлах элементарной подобласти. Производные, входящие в систему, в каждом узле элементарной подобласти аппроксимируются соответствующими производными полинома Ньютона. В итоге записывается нелинейная сплайн-коллокационная разностная схема, порядок аппроксимации которой совпадает с порядком сплайна по каждой независимой переменной. С помощью преобразования матричного пучка системы и свойств интерполяционного сплайна, сплайн-коллокационная разностная схема преобразуется к матрично-разностному уравнению. В работе показано, что матрично-разностное уравнение можно записать в нормальной форме. Такая форма записи разностной схемы позволяет применить к ней метод простых итераций. С помощью метода простых итераций записывается итерационный процесс и доказывается, что соответствующий оператор перехода является оператором сжатия и отображает сеточное пространство в себя. Попутно доказывается, что разностная схема имеет единственное решение и является устойчивой в сеточном пространстве. Для обоснования последнего утверждения используются результаты предшествующих работ автора. В итоге в работе обосновывается существование и устойчивость единственного решения сплайн-коллокационной разностной схемы с произвольным порядком аппроксимации. Устойчивость разностной схемы в настоящей работе понимается в смысле определения А. А. Самарского. Результаты численного решения полулинейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных демонстрируются на тестовом примере.