Асимптотика решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с дробной точкой поворота

В статье развиваем классический метод пограничных функций Вишика–Люстерника–Васильевой–Иманалиева для построения равномерных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных уравнений с особыми точками. В данной работе, модернизируя классический метод погранфункций, строятся равномерные асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с дробной точкой поворота. Как нам известно, задачи с точками поворота встречаются в уравнении Шредингера для туннельного перехода, задачах с классическим осциллятором, задачах механики сплошной среды, задаче гидродинамической устойчивости, уравнении Орра–Зоммерфельда, а также при определении тепла трубе и др. Определение поведения решения подобных задач при стремлении малого (большого) параметра к нулю (к бесконечности) является актуальной задачей. Нами исследуются задачи Коши и Дирихле для сингулярно возмущенных линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка, соответственно. При этом доказывается, что главные члены асимптотических разложений имеют отрицательные дробные степени по малому параметру. Как практика показывает, решения большинство сингулярно возмущенных уравнений с особыми точками обладают этим свойством. Построенные разложения решений являются асимптотическими в смысле Эрдей, когда малый параметр стремится к нулю. Получены оценки для остаточных членов асимптотических разложений, т. е. асимптотические разложения обоснованы. Идея модификации метода пограничных функций реализована для обыкновенных дифференциальных уравнений, но ее можно применять и при построении асимптотики решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных с особенностями.