О некоторых результатах исследования вырожденных систем интегро-дифференциальных уравнений в школе Ю.Е. Бояринцева

Статья посвящается первому декану математического факультета Иркутского государственного университета Владимиру Владимировичу Васильеву в честь 110-летия со дня рождения. В работе рассматриваются постановки задач, возникшие при разработке теории и численных методов решения дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), в направлениях, развитых или намеченных в работах Ю. Е. Бояринцева. Решение таких задач потребовало расширения первоначальной тематики. В частности, потребовалось изучать системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) и интегральные уравнения Вольтерра, с тождественно вырожденной матрицей в области определения при главном члене. Такие системы интегральных уравнений принято сейчас называть интегро-алгебраическими уравнениями (ИАУ). Полученные результаты дали основу для построения эффективных численных методов решения вырожденных ИДУ, ИАУ и ДАУ. В статье основное внимание уделено изучению общего случая линейных систем интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), с тождественно вырожденной матрицей в области определения перед старшей производной искомой вектор-функции. При определенных условиях изучается возмущение систем ИДУ операторами Фредгольма. Исследуется структура общих решений таких систем. Основными методами исследования является подход, основанный на анализе продолженных систем и свойств матричных многочленов, определенным образом поставленных в соответствие изучаемым ИДУ.