Импульсные управляемые системы с траекториями ограниченной $p$-вариации

Заметка посвящена проблеме релаксационного (импульсно-траекторного) расширения управляемых систем с аффинной по управлению правой частью при отсутствии равномерного ограничения на $L_1$-норму управления. Возникающие в таких системах обобщенные траектории могут иметь неограниченную полную вариацию. Известные результаты по импульсно-траекторному расширению в данном классе управляемых систем в основном рассматривают обобщенные траектории ограниченной вариации, соответствующие импульсным воздействиям типа ограниченной борелевской меры, и не охватывают рассматриваемый случай. Цель исследования — поиск конструктивных методов построения подобных расширений в классе траекторий ограниченной $p$-вариации ($p>1$) (в смысле определения Н. Винера) и возможностей их явного описания.
Предлагается подход к расширению управляемых систем с обобщенными траекториями ограниченной $p$-вариации, $p>1$, на основе аналога метода разрывной замены времени. Данный подход включает пространственно-временное расширение исходной системы и переход к вспомогательной системе с непрерывными решениями ограниченной $p$-вариации. В статье рассмотрен случай скалярного управления, однако аналогичное пространственно-временное преобразование также применимо к управляемым системам с аффинной по векторному управлению правой частью, в том числе при отсутствии свойства инволютивности (в частности, более традиционного предположения коммутативности) векторных полей.
Для случая $p\in [1,2)$ и скалярного импульсного управления получено явное представление расширенной системы с помощью специального дискретно-непрерывного интегрального уравнения, включающего интеграл Юнга.