О существовании решения задачи оптимального управления гибридной системой

Рассматривается задача оптимального управления гибридной динамической системой достаточно общего вида. В литературе подобные системы также часто называют дискретно-непрерывными или логико-динамическими. Они возникают при математическом моделировании целого ряда технических процессов. С помощью гибридных систем можно, к примеру, описать функционирование коробки передач в автомобиле, работу автоматической системы климат-контроля, некоторые процессы с эффектом гистерезиса, динамические системы с соударениями и кулоновским трением, а также многие другие. Математической теории оптимального управления такими системами посвящено большое число статей, в частности, к настоящему времени получены необходимые и достаточные условия оптимальности, а также разработаны итерационные процедуры последовательного улучшения. Однако авторам не известно о существовании каких-либо работ, посвящённых вопросам существования оптимальных управлений. Отчасти восполнить этот пробел призвана данная статья. Напомним, что для классической задачи оптимального управления основной способ доказательства существования решения состоит в том, чтобы установить эквивалентность этой задачи некоторой задаче математического программирования, состоящей в минимизации непрерывной функции на множестве достижимости рассматриваемой управляемой системы. Тогда, в силу классической теоремы Вейерштрасса, условия компактности множества достижимости и будут условиями существования оптимального управления. В данной работе мы показываем, что для рассматриваемой в статье гибридной системы подобный подход также может быть применён. Эквивалентная задача математического программирования оказывается несколько сложнее, а доказательство компактности множества её допустимых значений требует уже знания свойств интегральной воронки управляемой системы, а не её множеств достижимости.