Дискретные неоднородные системы и достаточные условия оптимальности

Предмет активного изучения в последние 15–20 лет — системы с неоднородной структурой широко распространены на практике. Примерами служат процессы химического производства, сложные космические операции, динамика роботов, развитие организмов и биологических популяций.
Значительная часть их исследований связана с задачами оптимизации управлений, когда методы оптимального управления для систем однородной структуры, ставшие уже классическими (принцип максимума Понтрягина, метод Беллмана), непосредственно неприменимы. Для такого класса задач оптимизации с одной стороны требуется математическая модель, учитывающая специфику объекта, а с другой — математический аппарат, позволяющий находить решение поставленной задачи. Естественно, что многие исследователи направили свои усилия на модификацию и доработку принципа максимума Понтрягина для этого класса задач, дополняя известный результат специальными условиями в моменты изменения описания системы (например, так называемые условия скачка). Другой подход использует вектор-функции Ляпунова. Ряд авторов применяет комбинированный подход, когда для описания и управления используются как непрерывные, так и дискретные или логические составляющие. Также представители ряда школ активно используют в своих исследованиях аппарат теории мер, обобщенных функций и метод разрывной замены времени.
В работе продолжено развитие альтернативного подхода, позволяющего остаться в рамках традиционных предположений теории оптимального управления. Основой для этого служат достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова для дискретных систем, сформулированные в терминах произвольных множеств и отображений. Эта формулировка позволяет рассматривать множества и операторы с изменяющейся структурой при переходе от одного шага к другому, а управление на каждом шаге можно трактовать как комбинацию некоторой абстрактной переменной и некоторого непрерывного или дискретного процесса.
Рассматривается класс дискретных неоднородных систем, широко распространенных на практике (экономика, экология). Подобные системы также возникают в процессе численного решения задач оптимизации при дискретизации непрерывных управляемых систем. Для указанного класса приводится аналог достаточных условий оптимальности Кротова. Они же формулируются в форме Беллмана. Дается их конкретизация для частных случаев: линейных и линейно-квадратических по состоянию систем.