Анормальность в теории необходимых условий оптимальности

Известные в теории экстремальных задач проблемы существования, не единственности и анормальности решений, возникающие при применении необходимых условий оптимальности, обсуждаются с позиций принципа расширения и общих достаточных условий оптимальности с использованием простых примеров. Показывается, что эти проблемы зачастую порождаются не существом задачи, а применяемым методом решения и могут исчезать при использовании другого метода.
В основе исследования лежит предложенный В. Ф. Кротовым принцип расширения в абстрактной задаче на экстремум, получивший дальнейшее развитие в работах В. И. Гурмана, М. М. Хрусталева и А. И. Москаленко. Особое внимание обращено на явление анормальности, возникающее при применении классической схемы формирования функции Лагранжа как в конечномерных экстремальных задачах, так и в задачах оптимального управления.
В классическом методе Лагранжа для конечномерных задач множители Лагранжа — постоянные числа. В этом случае метод полностью сводит задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум лишь в частном случае оговоренном в теореме Куна–Таккера.
Что касается задач оптимального управления, то в вариационном исчислении и в принципе максимума Понтрягина используется функциональный аналог классических постоянных множителей Лагранжа. В принципе максимума Понтрягина это вектор сопряженных переменных. Проблема анормальности здесь присутствует в полном объеме. Приводится пример класса задач оптимального управления, где любой допустимый процесс является анормальной экстремалью Понтрягина.
Принцип расширения позволяет использовать множители Лагранжа, представляющие собой функции, зависящие от оптимизируемого вектора в конечномерном случае и от состояния системы в задаче оптимального управления. Используя этот принцип, можно получать условия оптимальности, в которых проблема анормальности не возникает.