Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения типа свертки в банаховых пространствах

В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение в свертках специального вида в банаховых пространствах с фредгольмовым операторм в главной части. Изучен вопрос об однозначной разрешимости задачи Коши для такого уравнения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Исследования проводятся с помощью теории фундаментальных оператор-функций интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Фредгольмов оператор из дифференциальной части уравнения имеет полный жорданов набор. Ядро интегральной части уравнения имеет в начальной точке нуль, кратность которого определяется максимальной длиной жордановых цепочек базисных элементов ядра фредгольмова оператора и порядком дифференциального оператора уравнения. В этих предположениях доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции (фундаментального решения) для рассматриваемого уравнения. С помощью фундаментальной оператор-функции построено обобщенное решение, иссследована связь между обобщенным и классическим (гладким) решениями. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примере начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Представленные исследования продолжают цикл работ автора по данной тематике и допускают обобщения на другие случаи сингулярности оператора при старшей производной (нетеровость, спектральная, секториальная или радиальная ограниченность). Рассмотренные в работе интегро-дифференциальные уравнения позволяют в наиболее общей постановке исследовать математические модели теории колебаний в вязкоупругих средах или теории электрических цепей.