Families of language uniform theories and their generating sets

Вводится понятие сигнатурно однородной теории и изучаются топологические свойства, относящиеся к семействам сигнатурно однородных теорий и их $E$-совмещениям. Показано, что класс сигнатурно однородных теорий достаточно широк. Найдены достаточные условия сигнатурного подобия сигнатурно однородных теорий. Изучены свойства сигнатурного доминирования и бесконечного сигнатурного доминирования. Найдена характеризация для $E$-замыкания семейства сигнатурно однородных теорий в терминах индексных множеств. Рассмотрен класс линейно упорядоченных семейств сигнатурно однородных теорий и к этому классу применена указанная характеризация. Исследованы свойства дискретных и плотных индексных множеств: показано, что любое дискретное индексное множество задает наименьшее порождающее множество, в то время как плотные индексные множества определяют по меньшей мере континуальное число точек накопления и замыкания без наименьших порождающих множеств. В частности, при наличии плотного индексного множества теория соответствующего $E$-совмещения не имеет $e$-наименьшей модели и не является малой. Используя дихотомию для дискретных и плотных индексных множеств, решается проблема существования наименьшего порождающего множества относительно $E$-совмещений и характеризуется это существование в терминах порядков.
Получены значения $e$-спектров для семейств сигнатурно однородных теорий. Показано, что любой $e$-спектр может быть реализован некоторым $E$-совмещением сигнатурно однородных теорий. Найдены нижние оценки для $e$-спектров относительно мощностей сигнатур.
Показано, что семейства сигнатурно однородных теорий задают произвольный ранг Кантора–Бендиксона и произвольную степень относительно этого ранга.