Верхние оценки сложности функций над непростыми конечными полями в классе поляризованных полиномов

В настоящее время активно исследуются представления дискретных функций над конечными полями, в том числе полиномиальные. Одним из основных направлений этих исследований является сложность таких представлений.
В статье предложены новые верхние оценки сложности дискретных функций над некоторыми конечными полями в классе поляризованных полиномов. При этом результаты излагаются на языке матричных форм. Под матричной формой понимается представление вектора функции в виде произведения квадратной невырожденной матрицы и вектор-столбца. Сложность функции в классе поляризованных полиномов совпадает со сложностью функции в классе матричных форм специального вида.
Под сложностью матричной формы понимается число ненулевых элементов в векторе этой формы. Каждая функция может быть реализована несколькими матричными формами из одного класса. Под сложностью функции в классе понимается минимально возможная сложность реализующей ее матричной формы из этого класса.
В данной работе получены верхние оценки для функций над полями порядков $2^k$ и $p^k$, где $p$ — простое и $p \geqslant 3$.