Перечисление собственных $t$-мерных подпространств пространства $V_m$ над полем $ GF(q)$

В алгебре Шевалле над полем $K$, ассоциированной с произвольной системой корней, выделена нильтреугольная подалгебра $N\Phi ( K) $ с базисом $\{e_{r}(r\in \Phi ^{+}) \}$. В 2001 г. Г. П. Егорычевым и В. М. Левчуком были поставлены две проблемы перечисления идеалов: специальных идеалов в алгебрах классических типов (проблема 1) и всех идеалов (проблема 2). При их решении возникает задача нахождения числа $\widetilde{V}_{m,t}$, $1\leq t\leq m $, всех собственных $t$-мерных подпространств пространства $V_{m}$ над полем $GF(q)$. Недавно В. П. Кривоколеско и В. М. Левчук нашли явное выражение для числа $\widetilde{V}_{m,t}$ через кратную сумму от $q$-комбинаторных чисел. Здесь с помощью метода коэффициентов интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм, разработанного автором в конце 1980-х гг., найдено интегральное представление для чисел $\widetilde{V}_{m,t}$. Как следствие, получены две простые вычислительные формулы для этих чисел.