Closures and generating sets related to combinations of structures

Исследуются операторы замыкания и описываются их свойства для $E$-совмещений и $P$-совмещений систем и их теорий, включая отрицание конечного характера и свойство замены. Показано, что операторы замыкания для $E$-совмещений соответствуют замыканию относительно оператора ультрапроизведений и образуют хаусдорфовы топологические пространства. Также показано, что операторы замыкания для дизъюнктных $P$-совмещений образуют топологические $T_0$-пространства, которые могут не быть хаусдорфовыми. Таким образом, топологии для $E$-совмещений и $P$-совмещений существенно различаются. Для $E$-совмещений доказано, что существование минимального порождающего множества теорий эквивалентно существованию наименьшего порождающего множества. Кроме того, синтаксически и семантически охарактеризовано свойство существования наименьшего порождающего множества: показано, что элементы наименьшего порождающего множества изолированы и являются плотными в своем $E$-замыкании.
Рассмотрены подобные свойства для $P$-совмещений: доказано, что снова существование минимального порождающего множества теорий эквивалентно существованию наименьшего порождающего множества, но это не эквивалентно изолированности элементов в порождающем множестве. Показано, что $P$-замыкания с наименьшими порождающими множествами связаны с семействами, которые не являются $\omega$-восстановимыми, а также с семействами, имеющими конечный $e$-спектр.
Сформулированы два вопроса о наименьших порождающих множествах для $E$-совмещений и $P$-совмещений. Предложены частичные ответы на эти вопросы.