О робастной устойчивости систем дифференциально-алгебраических уравнений

Рассматриваются линейные стационарные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной искомой вектор-функции. Такие системы называются системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). Мерой неразрешенности ДАУ относительно производных служит целочисленная величина, называемая индексом. Анализ проводится в предположении существования структурной формы с разделенными дифференциальной и алгебраической подсистемами. Эта структурная форма эквивалентна искомой системе в смысле решений, а оператор, преобразующий исходную систему ДАУ к этой структурной форме, обладает левым обратным оператором. Построение структурной формы носит конструктивный характер и не использует замену переменных, при этом автоматически решается проблема согласования начальных условий. Доказано, что в стационарном случае достаточным условием существования структурной формы является регулярность матричного пучка системы. Показана связь между индексом матричного пучка, порядком линейного дифференциального оператора, преобразующего исходные ДАУ к структурной форме и индексом неразрешенности ДАУ. Этот подход использует понятие $r$-продолженной системы, где $r$ — индекс неразрешенности. Необходимым и достаточным условием существования структурной формы является наличие в матрице, описывающей $r$-продолженную систему неособенного минора порядка $n(r+1)$, где $n$ — размерность рассматриваемой системы ДАУ. В статье исследуется проблема асимптотической устойчивости ДАУ в условиях неопределенности, задаваемой с помощью матричной нормы. Возмущение, привносимое в систему ДАУ, не нарушает ее внутренней структуры и тесно связано с расположением упомянутого минора в матрице, описывающей продолженную систему. Для систем индекса 1 и 2 получены достаточные условия робастной устойчивости. При получении результатов использовались значения для вещественного и комплексного радиусов устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрен пример.