Global search method for solving Malfatti's four-circle problem

Рассматривается задача Мальфатти, сформулированная 200 лет назад. Изначально, решение этой задачи предполагалось геометрическим методом. В 1994 году Залгаллер и Лос предложили для решения так называемый жадный алгоритм. Однако до сих пор не известна оптимальность этого алгоритма для задачи с $n \geq 4$ кругами. В статье обобщается задача Мальфатти, сформулированная для трёх кругов, на случай четырёх кругов. Были исследованы шесть возможных вариантов вписания кругов в треугольник. Исследуемая задача формулируется как задача максимизации выпуклой функции на невыпуклом множестве, для решения которой используются условия глобальной оптимальности А. С. Стрекаловского. Предложен алгоритм для численного решения задачи Мальфатти, который сходится к глобальному решению. Вспомогательными задачами предложенного алгоритма являются задачи квадратичного программирования с квадратичными ограничениями. Эти задачи могут быть решены методом Лагранжа. Для проведения вычислительного эксперимента был рассмотрен треугольник с заданными вершинами. В работе приводятся численные результаты для заданного треугольника.