Предельные дифференциальные включения и метод функций Ляпунова

В статье развивается метод исследования асимптотического поведения решений неавтономных систем, представленных в форме дифференциальных включений. Полученные результаты носят форму обобщений принципа инвариантности Ла-Салля.
Принципом инвариантности обычно называют теорему Ла-Салля для автономных дифференциальных уравнений, в которой (в рамках прямого метода Ляпунова) предполагается, что производная функции Ляпунова неположительна. Вывод, который из этого следует, состоит в том, что правые предельные множества решений принадлежат наибольшему инвариантному подмножеству из множества нулей производной функции Ляпунова. Ранее функции Ляпунова со знакопостоянной производной использовались в известной теореме Барбашина–Красовского об асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем. Эту теорему (вместе с теоремой Ла-Салля) также иногда характеризуют как принцип инвариантности.
Для неавтономных уравнений на этом пути возникают трудности, связанные с отсутствием свойств типа инвариантности правых предельных множеств решений, а также с описанием множества нулей производной функций Ляпунова. Попытки преодоления этих трудностей привели к понятию предельных дифференциальных уравнений, которые тем или иным способом строятся с использованием сдвигов (трансляций) правых частей исходных уравнений. Сейчас этот подход известен как метод предельных уравнений, который в сочетании с прямым методом Ляпунова позволяет эффективно исследовать асимптотическое поведение решений неавтономных систем. Эти исследования восходят к работам Дж. Селла и З. Артштейна по топологической динамике неавтономных дифференциальных уравнений. Распространение метода предельных уравнений на более широкие классы систем ставит прежде всего вопрос о структуре и методах построения предельных уравнений. Здесь этот вопрос решается применительно к дифференциальным включениям.