|
Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика», 2015, том 13, страницы 56–71
(Mi iigum236)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Формула Эйлера–Маклорена для рационального параллелотопа
О. А. Шишкина Сибирский федеральный университет
Аннотация:
Суммирование функций дискретного аргумента относится к числу классических задач исчисления конечных разностей, например, сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще Я. Бернулли (1713), и его исследования дали толчок к возникновению целого ряда разделов комбинаторного анализа. Эйлер (1733) и независимо от него Маклорен (1738) нашли формулу, в которой искомая сумма выражается через производные и интеграл от заданной функции. Ее строгое доказательство дал Якоби (1834).
Функцию нескольких дискретных аргументов представляется естественным суммировать по целым точкам рациональных многогранников. Известны аналоги формулы Эйлера–Маклорена в задаче суммирования многочлена по произвольному рациональному многограннику и в задаче суммирования функции экспоненциального типа по целым точкам рационального симплекса.
В данной статье получен многомерный аналог формулы Эйлера–Маклорена для задачи суммирования целых функций экспоненциального типа по целым точкам рациональных параллелотопов, построенных на образующих унимодулярного рационального конуса. Требование на унимодулярность конуса является существенным, так как при выбранном методе доказательства позволяет сделать замену переменных при переходе от параллелотопа к параллелепипеду. При этом реализован подход Эйлера, основанный на понятии дискретной первообразной функции. А именно, используя методы теории многомерных разностных уравнений, вводится понятие обобщенной дискретной первообразной, а методы теории дифференциальных операторов бесконечного порядка позволяют построить необходимый для многомерного аналога формулы Эйлера–Маклорена оператор и обосновать сходимость функционального ряда, который участвует в этой формуле.
Ключевые слова:
унимодулярный конус, рациональный параллелотоп, суммирование функций, многомерные разностные уравнения, дифференциальные операторы бесконечного порядка.
Образец цитирования:
О. А. Шишкина, “Формула Эйлера–Маклорена для рационального параллелотопа”, Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика, 13 (2015), 56–71
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/iigum236 https://www.mathnet.ru/rus/iigum/v13/p56
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 568 | PDF полного текста: | 319 | Список литературы: | 78 |
|