Метод обобщенной интегральной направляющей функции в задаче о существовании периодических решений дифференциальных включений

В настоящей работе предлагаются новые методы решения периодической задачи для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением следующего вида:
$$x'(t)\in F(t,x(t)).$$
В первой части работы предполагается, что многозначное отображение $F:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \multimap \mathbb{R}^n$ имеет выпуклые компактные значения, удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлинейного роста и $T$-периодично по первому аргументу. При сделанных предположениях определен замкнутый мультиоператор суперпозиции $P_F\,:\,C([0,T];\mathbb{R}^n)\rightarrow P(L^1([0,T];\mathbb{R}^n))$, сопоставляющий каждой функции $x(\cdot)$ множество всех суммируемых сечений мультифункции $F(t,x(t))$. Во второй части работы предполагается, что $F:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \multimap \mathbb{R}^n$ является нормальным мультиотображением с компактными значениями, удовлетворяющим условию $T$-периодичности по первому аргументу. Заметим, что класс нормальных мультиотображений достаточно обширен. В него входят, например ограниченные почти полунепрерывные снизу мультиотображения с компактными значениями. В обоих случаях для исследования рассматриваемой задачи применяется обобщенная интегральная направляющая функция. Существенным развитием понятия направляющей функции является тот факт, что основное условие направляемости предполагается выполненным, во-первых, в интегральной форме; во-вторых, в области, определяемой по самой направляющей функции; в-третьих, не обязательно для всех суммируемых сечений мультиоператора суперпозиции. Применение теории степени совпадения пары отображений и теории многозначных отображений позволяет установить разрешимость рассматриваемой периодической задачи.