О построении тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности в симметричном случае

Рассматривается нелинейное параболическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными, которое при некоторых дополнительных предположениях может быть интерпретировано как нелинейное уравнение теплопроводности (фильтрации) в случае, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных: времени и расстояния до начала координат. Данное уравнение имеет многочисленные приложения в механике сплошной среды, из которых одним из наиболее интересных, помимо, собственно, моделирования распространения тепла, является математическое описание фильтрации идеального политропного газа в пористой среде (в англоязычной литературе за ним закрепилось название «the porous medium equation»). Авторы исследуют специальный класс решений, которые в литературе обычно именуются «тепловыми волнами». Их особенностью является то, что они «сшиты», из двух решений, непрерывно состыкованных между собой, одно из них является тривиальным, а второе — неотрицательным. На линии стыковки, именуемой тепловым фронтом (или фронтом фильтрации), возможен разрыв производных, т.е. гладкость решения, вообще говоря, нарушается. Наиболее естественной задачей, для которой характерны подобного рода решения, является, так называемая «задача А. Д. Сахарова об инициировании тепловой волны». Для указанной задачи в статье построены новые решения в виде кратных рядов по степеням физических переменных, коэффициенты которых определяются при решении трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений. При этом элементы матриц систем зависят от их порядка, и не выполняется условие диагонального преобладания. Для коэффициентов рядов получены рекуррентные формулы.