О краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности с данными на замкнутой поверхности

В статье рассматривается начально-краевая задача специального вида для нелинейного уравнения теплопроводности в пространстве $\mathbb{R}^3$ в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. В англоязычной литературе это уравнение обычно именуется “the porous medium equation”. Помимо описания процессов распространения тепла, нелинейное уравнение теплопроводности используется при математическом моделировании фильтрации политропного газа в пористом грунте, движения крови в мелких кровеносных сосудах, процессов распространения выбросов отрицательной плавучести в экологии, процессов роста и миграции биологических популяций и ряда других. В рассматриваемой начально-краевой задаче предполагается, что искомая функция обращается в нуль в начальный момент времени и режим нагрева задан на некоторой замкнутой достаточно гладкой поверхности. При этом выполнен переход в сферическую систему координат. Для указанной задачи в классе аналитических функций доказана теорема существования и единственности решения, имеющего вид тепловой волны, распространяющейся по холодному фону с конечной скоростью (если задано направление движения тепловой волны). Предложена конструктивная процедура построения решения в виде кратного степенного ряда, коэффициенты которого определяются рекуррентно из систем линейных алгебраических уравнений, не обладающих свойством строгого диагонального преобладания, при этом размерность систем неограниченно растёт вместе с увеличением порядка коэффициентов. Поскольку указанная процедура позволяет строить коэффициенты ряда в явном виде, построенное решение может быть использовано для верификации численных расчетов.