Байесовские модели баланса

Ряд предыдущих работ автора был посвящен применению байесовского подхода к задачам массового обслуживания и надежности. В данной статье метод распространяется на широкий круг задач из различных областей знания: демографии, физики, политологии, моделирования чрезвычайных ситуаций, медицины и др. В основе метода лежит разделение факторов, влияющих на исследуемую систему, на способствующие функционированию (позитивные, или p-факторы) и препятствующие функционированию (негативные, или n-факторы). Рассматривается индекс баланса системы, равный отношению n-фактора к p-фактору, и индекс преимущества, равный отношению p-фактора к сумме n- и p-факторов. Предполагается, что факторы, влияющие на систему, меняются со временем, причем точные значения факторов невозможно определить ввиду несовершенства измерительного оборудования, излишне высокой стоимости досконального изучения, нехватки временны́х и материальных ресурсов и т. п. Такие предпосылки обусловливают применение к описанным задачам байесовского метода, заключающегося в рандомизации исходных параметров (факторов) и, как следствие, индексов баланса и преимущества. Основной целью исследования является изучение вероятностных характеристик индексов баланса и преимущества в предположении, что априорные распределения факторов известны. В случае, когда n- и p-факторы являются независимыми случайными величинами, задача сводится к исследованию свойств смесей распределения. В отличие от популярных в настоящее время смесей нормальных законов в байесовских моделях баланса смешиваемые распределения имеют положительные носители. Особое внимание уделяется априорным распределениям гамма-типа, поскольку эти распределения являются адекватными асимптотическими аппроксимациями широкого класса вероятностных распределений. Ранее рассматривались смеси показательного, эрланговского и вейбулловского априорных распределений. В данной статье особое внимание уделено случаю, когда n- и p-факторы имеют m-распределение Накагами и его частные виды (распределение Рэлея, Максвелла–Больцмана, хи-распределение и др.). Получены явные виды плотности, функции распределения и моментов индекса баланса для различных комбинаций описанных априорных распределений. Результаты статьи могут применяться в задачах исследования разного рода индексов, рейтингов и показателей.