Некоторые свойства распределения Миттаг-Леффлера и связанных с ним процессов

Данная статья содержит обзор некоторых свойств распределения Миттаг-Леффлера. Основное внимание уделено возможности представления этого распределения в виде смешанного показательного закона. Также обсуждается возможность представления распределения Миттаг-Леффлера в виде масштабных смесей полунормальных или равномерных распределений. Обсуждается возможность использования распределения Миттаг-Леффлера в качестве асимптотической аппроксимации для распределений некоторых статистик, построенных по выборкам случайного объема. Описан новый двухэтапный сеточный метод оценивания параметра распределения Миттаг-Леффлера, использующий представление этого распределения в виде смешанного показательного закона. Рассмотрены два возможных способа распространения понятия распределения Миттаг-Леффлера на случайные процессы пуассоновского типа. Первый из этих способов приводит к специальному смешанному пуассоновскому процессу, другой способ ведет к специальному процессу восстановления — дважды стохастическому пуассоновскому процессу (процессу Кокса). В предельных теоремах для случайно остановленных случайных блужданий в обоих этих случаях в качестве предельных конечномерных распределений возникают дробно-устойчивые распределения, представимые в виде масштабных смесей нормальных законов с разными смешивающими распределениями.