Теорема Пуассона для схемы испытаний Бернулли со случайной вероятностью успеха и дискретный аналог распределения Вейбулла

Рассматривается задача, связанная с испытаниями Бернулли со случайной вероятностью успеха. Сначала в результате «предварительного» эксперимента определяется значение случайной величины $\pi\in(0,1)$, которое принимается в качестве вероятности успеха в испытаниях Бернулли. Затем случайная величина $N$ определяется как число успехов в $k\in\mathbb{N}$ испытаниях Бернулли с так определенной вероятностью успеха $\pi$. Распределение случайной величины $N$ называется $\pi$-смешанным биномиальным. В рамках такой схемы испытаний Бернулли со случайной вероятностью успеха формулируется «случайный» аналог классической теоремы Пуассона для $\pi$-смешанных биномиальных распределений, в котором предельным законом оказывается смешанное пуассоновское распределение. Особое внимание уделено случаю, в котором смешивающим распределением является распределение Вейбулла. Соответствующее смешанное пуассоновское распределение — пуассон-вейбулловское распределение — предложено в качестве дискретного аналога распределения Вейбулла. Обсуждаются некоторые свойства пуассон-вейбулловского распределения. В частности, показано,что это распределение является смешанным геометрическим. Предложен двухэтапный сеточный алгоритм оценивания параметров смешанных пуассоновских распределений и, в частности, пуассон-вейбулловского распределения. Построены статистические оценки верхней границы сетки. Приведены примеры вычислений по предложенному алгоритму.