Совместное стационарное распределение числа заявок в $m$ очередях в $N$-канальной системе обслуживания с переупорядочением заявок

Рассматривается функционирующая в непрерывном времени $N$-канальная система обслуживания с накопителем бесконечной емкости и переупорядочением заявок. В систему поступает пуассоновский поток заявок, время обслуживания каждым прибором распределено по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром. При поступлении в систему всем заявкам присваивается порядковый номер. На выходе из системы сохраняется порядок между заявками, установленный при входе в нее. Заявки, завершившие обслуживание и нарушившие установленный порядок, формируют в бункере переупорядочения (БП) (неограниченной емкости) разные очереди. Если на приборах находится $n$ ($n=\overline{1,N}$) заявок, то заявкой $1$-го уровня будем называть ту из них, которая в систему поступила последней, $2$-го уровня — предпоследней, $\ldots,$ $n$-го уровня — первой. Находящиеся в БП заявки, поступившие между заявками $2$-го и $1$-го уровней, будем называть заявками $1$-й очереди, заявки, поступившие между заявками $3$-го и $2$-го уровней, — заявками $2$-й очереди, $\ldots,$ заявки, поступившие между заявками $N$-го и $(N-1)$-го уровней, — заявками $(N-1)$-й очереди. Найдены математические соотношения в терминах производящих функций (ПФ), позволяющие алгоритмически вычислять совместное стационарное распределение числа заявок в накопителе и на приборах, а также в $1$-й, $2$-й, $\ldots$, $m$-й очередях в БП ($m=\overline{1,N-1}$).