Точные управляющие уравнения, описывающие редуцированную динамику функции Вигнера

Управляющие уравнения различных видов описывают эволюцию (редуцированную динамику) подсистемы большей системы, порождённую динамикой этой большей системы. Поскольку в некоторых случаях такие (точные) управляющие уравнения сравнительно сложны, существуют многочисленные аппроксимации для таких уравнений, также называемые управляющими уравнениями. В статье выводится точное управляющее уравнение, описывающее редуцированную динамику функции Вигнера для квантовых систем, полученных квантованием гамильтоновой системы с квадратичной функцией Гамильтона. Сначала рассматривается точное управляющее уравнение для первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений в бесконечномерных локально выпуклых пространствах. Затем полученные результаты применяются к выводу точного управляющего уравнения, соответствующего аналогу уравнения Лиувилля (которое является уравнением для первых интегралов уравнения (или системы уравнений) Гамильтона); последнее управляющее уравнение, которое мы называем управляющим уравнением Лиувилля, является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции вещественной переменной, принимающей значения в пространстве функций на фазовом пространстве. Если гамильтоново уравнение, порождающее уравнение Лиувилля, линейно, то векторные поля, которые определяют линейные дифференциальные операторы первого порядка в управляющем уравнении Лиувилля, также линейны, откуда вытекает, в свою очередь, что для гауссовского основного состояния преобразование Фурье решения управляющего уравнения Лиувилля удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению.