Итеративный подход типа Ричардсона для идентификации границ расслаивания

Прямая задача прикладного математического моделирования состоит в определении отклика системы при заданных параметрах: управляющих дифференциальных уравнениях, расположении границы, полных граничных и начальных условиях и свойствах материала. Когда один или более параметров прямой задачи неизвестны, может быть сформулирована так называемая обратная задача. Один из часто используемых для решения обратных задач методов состоит в нахождении значений неизвестных в математической формулировке так, что поведение системы вычисляется для модели, отвечающей измеренным реакциям в терминах классических $L_2$-норм. Рассмотренная в этом смысле обратная задача равносильна некорректно поставленной оптимизационной задаче для оценки параметров, решение которой в большинстве случаев — сложная математическая проблема. В статье представлен новый подход, исключающий математические трудности, порождённые характером некорректно поставленных задач для выбранной модели. Наш метод вычисления решений обратной задачи в терминах эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка восходит в концептуальном плане к методу, предложенному Козловым с соавторами и далее расширенному и алгоритмизированному Вайклем с соавторами. Мы строим и используем слабую версию алгоритма Вайкля и соавторов. Доказательства сходимости и регулярности этой версии даны для случая единственного слоя. Вычислительная реализация этого алгоритма была применена на практике и дала численные результаты. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.