Почти вполне разложимые группы с примарным регуляторным фактором и их кольца эндоморфизмов

Для блочно-жёсткой почти вполне разложимой группы кольцевого типа $X$ с регулятором $A$ и $p$-примарным регуляторным фактором $X/A$ экспоненты $p^l=\exp X/A$ ($l>1$ — натуральное число) хорошо известно, что $p^l \operatorname{End}A\subset\operatorname{End}X\subset\operatorname{End}A$. Это означает, что $\operatorname{End}X=\operatorname{End}X\cap\operatorname{End}A$ и $p^l\operatorname{End}A=\operatorname{End}X\cap p^l\operatorname{End}A$. Обобщая, мы вводим в рассмотрение цепь
$$ \operatorname{End}X =\mathcal E_A^{(l)}\subset\mathcal E_A^{(l-1)} \subset\mathcal E_A^{(l-2)}\subset\ldots\subset\mathcal E_A^{(1)} \subset\mathcal E_A^{(0)}=\operatorname{End}A, $$
удовлетворяющую условию $p^{l-k}\mathcal E_A^{({k})}=\operatorname{End}X\cap p^{l-k}\operatorname{End}A$, и находим группы $X'_k$ и $\widetilde{X_k}$, для которых $\mathcal E_A^{({k})}=\operatorname{Hom}(X'_k,\widetilde{X_k})$, $k=1,2,\ldots,l-1$.