Функциональный закон повторного логарифма для ассоциированных случайных полей

В математической статистике, теории надежности и статистической физике имеется много интересных моделей, описываемых семействами ассоциированных случайных величин. В частности, любая совокупность независимых действительных величин автоматически является ассоциированной. Цель работы — получить просто проверяемые условия, обеспечивающие выполнение функционального закона повторного логарифма для ассоциированного случайного поля $\left\{X_j,\,j\in\mathbb{Z}^d\right\}$ с действительными значениями, заданного на целочисленной решетке $\mathbb{Z}^d$, $d\geq1$. Если это поле стационарно в широком смысле, то упомянутые условия таковы: $\sup_{j}E|X_j|^s<\infty$ при некотором $s\in(2,3]$ и коэффициент Кокса–Гриммета $u(n)$, элементарно выражающийся через ковариационную функцию поля, допускает оценку вида $u(n)=O(n^{-\lambda})$ при $n\to\infty$, где $\lambda>d/(s-1)$. Доказательство основано на новом максимальном неравенстве, установленном А. В. Булинским и М. С. Кином, на методах известных работ В. Штрассена, Дж. Чоувера, И. Беркеша. Существенную роль при этом играет оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для ассоциированных случайных полей, полученная в недавних статьях автора. Работа построена следующим образом: § 1 — это введение, дающее представление об ассоциированности и исследованиях в области предельных теорем для семейств ассоциированных величин, в § 2 вводятся необходимые обозначения и формулируется основной результат, в § 3 с помощью 6 лемм проводится доказательство функционального закона повторного логарифма.