Новые примеры неотрицательных тригонометрических полиномов с целыми коэффициентами

В статье доказывается, что для каждого натурального $n$ и любого числа $\lambda\geq1$ справедлива оценка
$$ 2\lambda n^{\alpha}+\sum_{k=1}^{s}\Bigl[\lambda\left(\frac{n}{k}\right)^{\alpha}-1\Bigr]\cos(kx)>0 $$
при всех $x$ и $s=0,\ldots,n$. Здесь квадратные скобки означают целую часть числа, а $\alpha\in(0,1)$ — единственный корень уравнения $\int_{0}^{3\pi/2}t^{-\alpha}\cos t\, dt=0$. Также доказывается, что для каждого натурального $n$ и любых чисел $q\geq2$ и $\lambda\geq 3q^q$ верна оценка
$$ 4\lambda n^{1/q}+\sum_{k=1}^{n}\Bigl[\lambda\Bigl(\left( \frac{n}{k}\right)^{1/q}-1\Bigr)+1\Bigl]\cos(kx)>0 $$
при всех $x$. Из этих двух основных результатов и аналогичных им выводятся новые оценки в некоторых экстремальных задачах, связанных с неотрицательными тригонометрическими полиномами с целыми коэффициентами.