Обратимые матрицы над решётками с псевдодополнениями

Получена формула для нахождения наибольшего решения систем линейных уравнений над решётками. Приводятся применения полученного результата к теории решёточных матриц. Пусть $(P,\leq)$ — решётка с псевдодополнениями с $\tilde{0}$ и $\tilde{1}$, $A=\|a_{ij}\|_{n\times n}$, $a_{ij}\in P$ для всех $i,j=1,\ldots,n$. Пусть $A^*=\|a'_{ij}\|_{n\times n}$, $a'_{ij}=\bigwedge\limits_{\substack{r=1\\ r\ne j}}^na_{ri}^*$ для всех $i,j=1,\ldots,n$, где $a^*$ — псевдодополнение $a\in P$ в $(P,\leq)$. Матрица $A$ обратима справа над $(P,\leq)$ тогда и только тогда, когда $A\cdot A^*=E$ над $(P,\leq)$. Если $A$ обратима справа над $(P,\leq)$, то $A^*$ — наибольшая правая обратная к $A$ над $(P,\leq)$. Матрица $A$ обратима справа над $(P,\leq)$ тогда и только тогда, когда $A$ ортогональна по столбцам над $(P,\leq)$. Матрица $D=A\cdot A^*$ является наибольшей диагональной матрицей, делящейся слева на матрицу $A$ над $(P,\leq)$. Обратимые матрицы над дистрибутивной решёткой $(P,\leq)$ образуют полную линейную группу $\mathrm{GL}_n (P,\leq)$ относительно умножения. Пусть $(P,\leq)$ — конечная дистрибутивная решётка, $k$ — число компонент связности диаграммы Хассе частично упорядоченного множества $(\operatorname{join}(P,\leq)-\tilde{0},\leq)$, где $\operatorname{join}(P,\leq)$ — множество дизъюнктивно неприводимых элементов решётки $(P,\leq)$. Тогда $\mathrm{GL}_n (P,\leq)\cong S_n^k$. Приводятся некоторые свойства обратимых матриц над решётками с псевдодополнениями.