Модули и комодули для коколец

Кокольцо $C$ над кольцом $A$ — это $(A,A)$-бимодуль с копроизведением $\Delta\colon C\to C\otimes_AC$ и коединицей $\varepsilon\colon C\to A$, являющимися левыми и правыми $A$-линейными отображениями, удовлетворяющими дополнительным условиям. Дуальные пространства $C^*=\mathrm{Hom}_A(C,A)$ и ${}^*C={}_A\mathrm{Hom}(C,A)$ допускают кольцевые структуры, а правые (левые) комодули над $C$ могут рассматриваться как левые (правые) модули над $^*C$ (соответственно $C^*$). В самом деле, при слабых ограничениях на $A$-модульные свойства $C$ категорию правых $C$-комодулей можно рассматривать как подкатегорию $\sigma[{}_{^*C}C]$ в ${^*C}$-Mod, т. е. как категорию, подпорождённую левым $^*C$-модулем $C$. Такой подход позволяет применять результаты теории модулей для изучения коалгебр и комодулей.