Келерова геометрия гиперболического типа на многообразии невырожденных $m$-пар

Невырожденная $m$-пара $(A,\Xi)$ в $n$-мерном проективном пространстве $\mathbb RP_n$ состоит из $m$-плоскости $A$ и не пересекающей её $(n-m-1)$-плоскости $\Xi$ в $\mathbb RP_n$. Совокупность $\mathfrak N_m^n$ всех невырожденных $m$-пар в $\mathbb RP_n$ является $2(n-m)(n-m-1)$-мерным вещественно-аналитическим многообразием. Многообразие $\mathfrak N_m^n$ является однородным пространством $\mathfrak N_m^n=\matrm{GL}(n+1,\mathbb R)/\matrm{GL}(m+1,\mathbb R)\times\matrm{GL}(n-m,\mathbb R)$, на котором внутренним образом определена келерова структура гиперболического типа. Таким образом, многообразие $\mathfrak N_m^n$ является гиперболическим аналогом комплексного грассманиана $\mathbb CG_{m,n}=\mathrm U(n+1)/\mathrm U(m+1)\times\mathrm U(n-m)$. В частности, многообразие 0-пар $\mathfrak N_0^n=\matrm{GL}(n+1,\mathbb R)/\matrm{GL}(1,\mathbb R)\times\matrm{GL}(n,\mathbb R)$ является гиперболическим аналогом комплексного проективного пространства $\mathbb CP_n=\mathrm U(n+1)/\mathrm U(1)\times\mathrm U(n)$. Как и $\mathbb CP_n$, многообразие $\mathfrak N_0^n$ является келеровым многообразием постоянной ненулевой голоморфной секционной кривизны (но относительно гиперболической метрики). В этом смысле $\mathfrak N_0^n$ — гиперболическая пространственная форма. Было доказано, что многообразие 0-пар $\mathfrak N_0^n$ глобально симплектоморфно тотальному пространству $T^*\mathbb RP_n$ кокасательного расслоения над проективным пространством $\mathbb RP_n$. Обобщение этого результата состоит в том, что многообразие невырожденных $m$-пар $\mathfrak N_m^n$ глобально симплектоморфно тотальному пространству $T^*\mathbb RG_{m,n}$ кокасательного расслоения над грассмановым многообразием $\mathbb RG_{m,n}$ $m$-мерных подпространств пространства $\mathbb RP_n$. В настоящей работе изучается каноническая келерова структура на $\mathfrak N_m^n$. Даётся описание двух типов подмногообразий на $\mathfrak N_m^n$, являющихся естественными гиперболическими пространственными формами, которые голоморфно изометричны многообразиям 0-пар в $\mathbb RP_{m+1}$ и в $\mathbb RP_{n-m}$ соответственно. Доказано, что через каждую точку многообразия $\mathfrak N_m^n$ проходит $2(n-m)$-параметрическое семейство $2(m+1)$-мерных гиперболических пространственных форм первого типа и $2(m+1)$-параметрическое семейство $2(n-m)$-мерных гиперболических пространственных форм второго типа. Более того, доказано, что естественные гиперболические пространственные формы первого типа на $\mathfrak N_m^n$ находятся в биективном соответствии с точками многообразия $\mathfrak N_{m+1}^n$, а естественные гиперболические пространственные формы второго типа на $\mathfrak N_m^n$ находятся в биективном соответствии с точками многообразия $\mathfrak N_{m-1}^n$.