Мнимо-квадратичные решения антивандермондовых систем с 4 неизвестными и орбиты Галуа деревьев диаметра 4

Работа посвящена элементарной диофантовой проблеме, возникшей из гротендиковской теории детских рисунков. Точнее, мы рассматриваем систему уравнений $ax^j+by^j+cz^j+dt^j=0$ ($j=1,2,3$) с натуральными $a$, $b$, $c$, $d$. По тривиальным причинам она не имеет вещественных (а следовательно, и рациональных) ненулевых решений; мы занимаемся случаями, когда она имеет мнимо-квадратичные решения. Мы строим бесконечное семейство таких случаев; в них участвуют все мнимо-квадратичные поля. Мы обсуждаем полученный результат с точки зрения орбит Галуа деревьев диаметра 4.