|
Фундаментальная и прикладная математика, 2002, том 8, выпуск 2, страницы 365–405
(Mi fpm651)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях)
Топологическая теорема Хелли
С. А. Богатый Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Аннотация:
Дана аксиоматическая версия классической теоремы Хелли о пересечении выпуклых подмножеств $\mathbb R^m$, которая содержит в себе различные формы как геометрической, так и топологической теоремы Хелли. Вместо пространства $\mathbb R^m$ рассматривается произвольное нормальное пространство $X$, когомологической размерности (по заданной группе $G$) не больше $m$ и с нулевой $m$-мерной группой когомологий. Вместо выпуклых подмножеств рассматриваются замкнутые ациклические подпространства и вместо условия на пересечение накладываются (получаются) условия на значения произвольных простейших булевых функций. В крайних случаях (рассматриваются только операции объединения или пересечения) условия звучат так: для любых $k$ множеств семейства, при $k\leq m+1$, или их общее пересечение имеет тривиальные когомологии во всех размерностях не больше $m-k$, или их общее объединение имеет тривиальные когомологии во всех размерностях из $\{k-2,\ldots,m-1\}$. Тогда доказывается, что любое подпространство, полученное из подпространств семейства операциями пересечения и объединения, не пусто и ациклично. Для всякого конечного замкнутого покрытия $m$-мерной сферы пересечение некоторых $(m+2)$ элементов пусто или для некоторого $k\leq m+1$ существуют такие $k$ элементов покрытия, пересечение которых имеет нетривиальные $(m+1-k)$-мерные когомологии. Полученные результаты справедливы для произвольного нормального пространства конечной когомологической размерности, но являются частично новыми даже в случае плоскости. В частности, закрывается (частично) пробел в доказательстве плоской топологической теоремы Хелли 1930 года для сингулярных клеток. Именно, если в семействе плоских компактов объединение любых двух компактов линейно связно, а объединение любых трёх односвязно, то пересечение всех компактов не пусто. Показано, что если в семействе плоских односвязных континуумов Пеано пересечение любых двух континуумов связно, а пересечение любых трёх не пусто, то всякий компакт, получающийся из континуумов семейства операциями пересечения и объединения (в конечном числе), является непустым односвязным континуумом Пеано. Аналогично, если в семействе плоских односвязных континуумов Пеано объединение любых двух и любых трёх континуумов односвязно, то всякий компакт, получающийся из континуумов семейства операциями пересечения и объединения (в конечном числе), является непустым односвязным континуумом Пеано. Аналогичные утверждения верны, если рассматривать класс неразбивающих плоскость континуумов.
Ключевые слова:
теорема Хелли, выпуклое множество, когомологическая размерность, односвязный плоский континуум.
Поступила в редакцию: 01.02.1999
Образец цитирования:
С. А. Богатый, “Топологическая теорема Хелли”, Фундамент. и прикл. матем., 8:2 (2002), 365–405
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/fpm651 https://www.mathnet.ru/rus/fpm/v8/i2/p365
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 810 | PDF полного текста: | 308 | Список литературы: | 74 | Первая страница: | 2 |
|