Локально выпуклые модули

Пусть $K$ — неархимедово нормированное тело, $A\subseteq K$ — его кольцо целых величин. В статье изучаются локально выпуклые унитарные топологические $A$-модули. Эти модули очень близки к векторным пространствам над неархимедово нормированными телами. В частности, топология таких модулей может быть задана системой полупсевдонорм. Монна показал, что $p$-адический аналог теоремы Хана–Банаха может быть доказан для локально выпуклых векторных пространств над неархимедово нормированным телом. Для локально выпуклых $A$-модулей могут быть определены понятия $q$-инъективности, где $q$ — полунорма, заданная на этом модуле, и строгой топологической инъективности. Это означает, что всякий $q$-ограниченный гомоморфизм может быть продолжен с сохранением полунормы, где $q$ является некоторой фиксированной полунормой в первом случае и произвольной полунормой $q\in\Gamma$ во втором. Приводятся необходимые и достаточные условия $q$-инъективности и строгой топологической инъективности для модулей без кручения. Наконец, получены необходимые и достаточные условия топологической инъективности локально выпуклого $A$-модуля в том случае, когда $A$ является кольцом целых величин локально компактного неархимедово нормированного тела: топологический модуль должен быть полным и условие Бэра выполнено для всякого непрерывного гомоморфизма (причем здесь топологическая инъективность означает, что всякий непрерывный гомоморфизм, заданный на подмодуле, может быть продолжен до непрерывного гомоморфизма всего модуля).