Теорема Люстерника–Шнирельмана и $\beta f$

Доказано обобщение теоремы Аартса–Фоккинка–Вермеера ($k=1$ и пространство метризуемо). Для любых $k$ штук свободных гомеоморфизмов $n$-мерного паракомпакта на себя число раскраски не превосходит $n+2k+1$. В качестве приложения получено, что для свободного действия конечной группы $G$ на нормальном (конечномерном паракомпактном) пространстве $X$ число раскраски $LS$ и род $K$ пространства связаны соотношением
$$ LS(X;G)=K(X;G)+|G|-1\ \ (\leqslant\dim X+|G|). $$
Отсюда получается, что при любых числах $n$ и $k$ для свободного действия группы $G=\mathbb Z_{2k+1}$ на пространстве $G*G*\cdots*G$ в первой теореме имеет место равенство. Показано, что для любых $k$ штук попарно коммутирующих свободных непрерывных отображений $n$-мерного бикомпакта в себя число раскраски не превосходит $n+2k+1$. Доказано обобщение теоремы Штайнлайна (свободный периодический гомеоморфизм), давшего отрицательное решение одной проблемы Люстерника. Для любого свободного отображения бикомпакта в себя число раскраски не превосходит учетверенного числа Хопфа.