О распределении собственных значений в некоторых ансамблях больших случайных матриц

В статье изучается дифференциальное уравнение, полученное В. А. Марченко и Л. А. Пастуром [1] которое описывает спектральное распределение в некоторых ансамблях больших случайных матриц. В явном виде найдено решение этого уравнения, а также доказано правило, предложенное в статье [1], для нахождения интервалов действительной оси, дополнительных к спектру. Методы В. А. Марченко и Л. А. Пастура применяются в теории нейронных сетей для изучения эволюции спектра матрицы межнейронных связей, описывающей процесс быстрого сна. Исследовано асимптотическое поведение спектра; показано, что оно качественно различается в случаях, когда параметр $\alpha$, соответствующий загруженности памяти запоминаемыми образами, меньше некоторого критического значения $\alpha_c$ и когда $\alpha>\alpha_c$. С точки зрения ассоциативной памяти в нейронных сетях, в первом случае в результате быстрого сна запоминаются все образы, а во втором не запоминается ни один из них.